In het Philips Stadion krijgt PSV vanmiddag bezoek van FC Groningen. Hoe groot is de kans dat de fans kunnen juichen? Hoeveel doelpunten zullen er worden gescoord? Het zijn vragen die we deels kunnen beantwoorden door gebruik te maken van de Poisson verdeling. Deze kansberekening in het voetbal kunnen je helpen om de juiste weddenschap af te sluiten.
Wat is de Poisson verdeling?
De Poisson verdeling werd in 1838 ontwikkeld door de Fransman Siméon Poisson. Het is een wiskundig concept om een gemiddelde te verdelen in percentages en variabele uitkomsten. Dat klinkt nogal theoretisch, maar is gemakkelijk uit te leggen aan de hand van een simpel voorbeeld:
FC Twente scoort gemiddeld 2.12 goals per wedstrijd. Wat is dan de kans dat de Tukkers vanavond een keer scoren? Of twee keer? Drie keer? Of juist helemaal niet? Met de Poisson verdeling kunnen we aan al deze variabelen een percentage hangen.
Formule van de Poisson verdeling
Voordat we met de Poisson verdeling aan de gang kunnen, moeten we het gemiddelde aantal doelpunten van beide teams berekenen. Zowel de sterkte van de aanval als die van de verdediging speelt dus een grote rol.
Het is belangrijk om voldoende wedstrijden in onze berekening mee te nemen. Als we maar een paar wedstrijden zouden gebruik, dan speelt de randomness factor (willekeur, geluk) een te grote rol. In dit artikel wordt data van 306 wedstrijden uit de Nederlandse Eredivisie uit het seizoen 2013-2014 gebruikt.
Eerst gaan we berekenen wat het gemiddelde aantal gescoorde doelpunten was per team, per thuiswedstrijd en per uitwedstrijd. Dit doen we door het totale aantal doelpunten te delen door het aantal wedstrijden.
Doelpunten in thuiswedstrijden / Aantal wedstrijden per seizoen
Doelpunten in uitwedstrijden / Aantal wedstrijden per seizoen
In het seizoen 2013-2014 werd er door thuisspelende teams 568 keer gescoord in 306 wedstrijden, een gemiddelde van 1,856 per duel. In evenveel uitwedstrijden scoorden de uitspelende teams 410 keer, een gemiddelde van 1,340.
Vervolgens gaan we uitrekenen hoeveel tegentreffers een team gemiddeld per duel om de oren krijgt. Dit is simpel te meten, aangezien we hiervoor alleen bovenstaande getallen maar hoeven om te draaien (het gemiddeld aantal gescoorde doelpunten in thuisduels staat gelijk aan het gemiddeld aantal tegentreffers in uitwedstrijden):
Gemiddeld aantal tegendoelpunten in thuiswedstrijden: 1,340
Gemiddeld aantal tegendoelpunten in uitwedstrijden: 1,856
Met deze cijfers kunnen we aan de gang om de aanvalskracht en de verdedigingskracht van zowel PSV als FC Groningen te berekenen.
Hoeveel goals zal PSV maken?
Eerst berekenen we de aanvalskracht van de Eindhovenaren:
- We nemen het aantal gescoorde doelpunten in thuiswedstrijden van PSV van vorig seizoen (34), en delen dat door het aantal thuiswedstrijden (17): 34 / 17 = 2
- Dan delen we deze waarde door het algehele gemiddelde aantal thuisdoelpunten om de aanvalskracht te bepalen: 2 / 1,856 = 1,078. PSV scoorde vorig seizoen voor eigen publiek dus bijna 8% vaker dan de gemiddelde Eredivisie-club.
Nu berekenen we de verdedigingskracht van FC Groningen:
- We nemen het aantal tegendoelpunten van FC Groningen van vorig seizoen (33), en delen dat door het aantal uitwedstrijden (17): 33 / 17 = 1,941
- Dan delen we deze waarde door het algehele gemiddelde aantal tegendoelpunten om de verdedigingskracht te bepalen: 1,941 / 1,856 = 1,046. De Noorderlingen kregen in uitwedstrijden dus bijna 5% meer tegentreffers om de oren dan de gemiddelde Eredivisie-club.
We kunnen nu de volgende formule toepassen om te berekenen hoeveel doelpunten PSV waarschijnlijk gaat maken:
Goals PSV = Aanvalskracht PSV * Verdedigingskracht FC Groningen * Gemiddeld aantal thuisgoals
Het aantal doelpunten dat we mogen verwachten, is dus: 1,078 * 1,406 * 1.856 = 2,813 goals. Ronden we dat af naar boven, dan komen we uit op drie doelpunten.
Hoeveel goals zal FC Groningen maken?
Eerst berekenen we weer de aanvalskracht, maar deze keer van FC Groningen:
- We nemen het aantal gescoorde doelpunten in uitwedstrijden van FC Groningen van vorig seizoen (26) en delen dat door het aantal uitwedstrijden (17): 26 / 17 = 1,529
- Dan delen we deze waarde door het algehele gemiddelde aantal uitdoelpunten (), om de aanvalskracht te bepalen: 1,529 / 1,340 = 1,141. De Groen-witten scoorden vorig seizoen buitenshuis dus ruim 14% vaker dan de gemiddelde Eredivisie-club.
Nu berekenen we de verdedigingskracht van PSV:
- Neem het aantal tegendoelpunten van PSV van vorig seizoen (18), en deel dat door het aantal thuiswedstrijden (17): 18 / 17 = 1,059
- Dan delen we deze waarde door het algehele gemiddelde aantal tegendoelpunten om de verdedigingskracht te bepalen: 1,059 / 1,340 = 0,790. De Brabanders kregen in thuiswedstrijden dus 21% minder tegentreffers om de oren dan de gemiddelde Eredivisie-club.
We kunnen nu opnieuw dezelfde formule toepassen om te berekenen hoeveel doelpunten FC Groningen waarschijnlijk gaat maken:
Goals FC Groningen = Aanvalskracht FC Groningen * Verdedigingskracht PSV * Gemiddeld aantal uitgoals
Het aantal doelpunten dat we mogen verwachten, is nu: 1,059 * 0,790 * 1,340 = 1,121 goals. Ronden we dat af naar beneden, dan komen we uit op één doelpunt.
Het voorspellen van diverse resultaten
Een wedstrijd kan natuurlijk nooit in 2,813 – 1,121 eindigen – dit zijn slechts gemiddeldes. Daarom ronden we ook af naar boven en beneden. De Poisson verdeling stelt ons echter ook in staat om deze gemiddeldes om te zetten in alle mogelijke resultaten, en hangt daar ook percentages aan vast.
De formule is bijzonder ingewikkeld, maar voor de liefhebbers: P(x ; μ) = (μ^x)(e^-μ)/x!. Gelukkig zijn er voldoende online tools te vinden om de berekeningen met een muisklik te doen. Het enige wat we daarvoor hoeven te doen is het invoeren van het aantal goals (x) en de kans dat een team weet te scoren (Average rate of success, voor PSV is die waarde 2.813, voor FC Groningen is dit 1.121).
| Goals | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 of meer |
| PSV | 6.00% | 16.88% | 23.75% | 22.27% | 15.66% | 8.81% | 6.63% |
| FC Groningen | 32.60% | 36.54% | 20.48% | 7.65% | 2.14% | 0.48% | 0.11% |
De kans dat PSV minimaal eenmaal het net zal laten bollen is met 94% (100% - 6%) enorm groot. Een monsterzege lijkt in de maak, want de kans dat de Eindhovenaren 4 of meer doelpunten zullen scoren is 31%. FC Groningen mag daarentegen al blij zijn als het überhaupt eenmaal weet te scoren in het Philips Stadion.
Kijkend naar de tabel, dan ligt een 2-1 thuisoverwinning het meest voor de hand. De kans op een dergelijk resultaat is eenvoudig te berekenen door beide percentages met elkaar te vermenigvuldigen.
0,2375 * 0,3654 = 0,0868.
Er is dus 8,68% kans dat dit duel in 2-1 zal eindigen.
De kans dat PSV zonder tegentreffer wint is:
0,94 * 0,326 = 0,3064, oftewel 30,64%.
Als we de kans op een gelijkspel willen berekenen, plaatsen we de volgende berekening:
(0,06 * 0,326) + (0,1688 * 0,3654) + (0,2375 * 0,2048) + (0,2227 * 0,0765) + (0,1566 * 0,0214) + (0,0881 * 0,0048), oftewel 15%.
Met de Poissonverdeling kunnen we dus alle kanten op!
Conclusie: Poisson verdeling erg helpzaam
Het grote nadeel is dat we bij de Poisson verdeling enkel de statistieken meeneemt in je berekening. Factoren als blessures, schorsingen, het weer, vorm en motivatie blijven buiten beschouwing. Daarnaast maakten we in het voorbeeld gebruik van de data van vorig seizoen, terwijl er afgelopen zomer bij beide clubs natuurlijk volop is veranderd. Het is van belang relevante informatie te verzamelen, al is het belangrijk dat we eveneens oppassen dat we niet te weinig wedstrijden meenemen in onze berekening.
Toch kan de Poisson verdeling ons behoorlijk op weg helpen wat betreft het analyseren van statistieken. De percentages zijn het best te gebruiken in vergelijking met de odds die de bookmakers aanbieden. Op die manier kunnen we zien waar statistisch gezien de value ligt. Op basis van de Poisson verdeling zou de odd voor een doelpunt van FC Groningen niet boven de 1.48 uit mogen komen (1/ 67.3 * 100). Als een bookmaker bijvoorbeeld een odd van 1.70 voor een doelpunt van FC Groningen aanbiedt, is dat puur statistisch gezien dus prima value.
